Toepassen van eerste orde Differentiaalvergelijkingen in de praktijk

In dit artikelen wordt behandeld wat een differentiaal vergelijking is, hoe het toe te passen en op welke manier het opgelost kan worden.

Introductie differentiaal vergelijkingen

Bij een normale functie zoals f(x)=2x+5 wordt er in een tijd domein gewerkt, waardoor een functie met een variabele een of meerdere oplossingen kan hebben. Bij een differentiaalvergelijking (ook wel DV) genoemd wordt er niet alleen een oplossing gezocht voor de functie zoals bijvoorbeeld f(x), maar ook voor de eerste en tweede afgeleiden van de functie.

Praktische toepassingen DV’s

In de elektrotechniek en mechanica wordt er gebruik gemaakt van DV’s. Een voorbeeld hiervan is de RC-schakeling (weerstand en condensator schakeling). Om de stroom die de bron moet leveren aan de weerstand en condensator kan er gebruik worden gemaakt van de DV om een uitkomst te krijgen.

Daarnaast is er ook een mechanisch voorbeeld met een demper- veersysteem waarbij de afgelegde afstand van de massa berekend moet worden.

Eerste orde DV

In bovenstaande voorbeelden zijn eerste orde differentiaal vergelijkingen te zien. Eerste orde worden gekenmerkt met de eerste afgeleiden die in de vergelijking naar voren komt. Voor de RC-schakeling geldt bij het bereken hoeveel stroom de bron moet leveren:

Homogene oplossing

Om een oplossing te vinden voor de stroom moeten er een paar stappen worden gezet. De eerste is het berekenen van de homogene oplossing. Dit wordt gedaan door voor de variabelen die moet worden berekend het volgende in te vullen en te vereenvoudigen.
De waardes van zijn C = 1220*10^-6 [F] en R = 5 [Ω]

Particuliere oplossing

De tweede stap in het proces is om de particuliere oplossing te vinden van het systeem. Om deze oplossing te vinden moet er gekeken worden naar dat de begin waarde van het systeem is.
Bijvoorbeeld bij U(0) = 5 [V]. Dit wil zeggen bij tijdstip 0 is de waarde van de spanningsbron 5 volt.
Dit geeft de volgende berekening:

Algemene oplossing

In de algemene oplossing worden de homogene en particuliere oplossing samengevoegd. Dit kom omdat de twee oplossingen afzonderlijk van elkaar een mogelijke oplossing vormen, maar ook samengevoegd een oplossing vormen. De algemene oplossing is als volgt:

Bovenstaande oplossing is voor een systeem met een stapfunctie van 0 naar 5 volt. Hierbij is bij de particuliere oplossing de term in het rechter lid een constante (5).
Bij systemen die geen constante term, maar een functie hebben veranderd de particuliere oplossing.

Particuliere oplossing met functie rechter lid

Stel dat de functie in het rechter lid 5t+2 is dan veranderd de particuliere oplossing naar de volgende vorm:

In deze uitwerking is te zien dat de particuliere een variabele van de tijd in de oplossing heeft. Bij een gelijkstelling van de tijd aan 0 valt de tijd variabele weg en blijft u_p (0) = 0.39976 over.

In het rechterlid kan ook een kwadratische functie staan zoals 3t² + 4t + 1 en dan volgt de volgende uitwerking.

Deze particuliere oplossing heeft een kwadratische functie.

Stabiele en instabiele systemen

Systemen kunnen in verschillende vormen voorkomen zoals dat ze stabiel en instabiel kunnen zijn, maar ook hoe snel het systeem stabiel wordt.

Een stabiel systeem wordt gekenmerkt aan het negatieve exponent (macht van e). Zoals in de bovenstaande afbeelding. Deze functie heeft als exponent -4908.36t, wat betekend dat na een seconde het getal van euler al met een macht -4908,36 is gegroeid/gekrompen.
Het negatieve exponent duid erop dat het systeem na een bepaalde tijd niet meer groeit en de particuliere waarde nadert (de waarde van 1). De particuliere waarde wordt nooit bereikt door het homogene component (euler tot de macht -4908,36t).

In de onderstaande grafiek is het verloop van de formule een stabiel systeem en een instabiel systeem. Het verschil is dat het stabiele systeem een negatieve macht heeft en het instabiel systeem een positieve macht heeft.

In de grafiek is te zien hoe snel een instabiel systeem zich kan ontwikkelen. Dit zorgt ervoor dat een instabiel na 1.5 seconde al ongeveer 2x zo groot is als het stabiele systeem, waardoor het niet te regelen valt.

Na 6 seconde is te zien dat het stabiele systeem de particuliere oplossing bijna raakt en dit vormt het stabiele gebied.

In dit artikel is behandeld waar differentiaal vergelijkingen toegepast kunnen worden. Er is een stappenplan behandeld waardoor een eerste orde differentiaalvergelijking opgelost kan worden. In de volgende stappen: opstellen van differentiaal vergelijking –> homogene oplossing –> particuliere oplossing –> algemene oplossing –> eindoplossing.
Door de eindoplossing kan bepaald worden of het systeem stabiel of instabiel is. Bij een stabiel systeem nadert het systeem de particuliere oplossing door de uitdoving van het homogene deel.