Massatraagheid berekenen voor object in een systeem

In dit hoofdstuk wordt ingezoomd op het berekenen van de massatraagheden van verschillende objecten met verschillende vormen en wat massatraagheid daadwerkelijk betekend.
Daarnaast wordt er behandeld hoe de massatraagheden van verschillende objecten kunnen worden berekend, waaronder een cilinder, holle cilinder en een balk. Vervolgens zal de Stelling van Steiner worden toegelicht.

Wat is massatraagheid?

Om te beginnen wordt het begrip massatraagheid uitgelegd. Massatraagheid staat voor een ruimtelijk object met een bepaalde massa die wordt opgebouwd uit een volume van het object en de dichtheid van het materiaal. Deze massa wil volgens de eerste wet van newton in stilstand blijven bij rust en zal zich dus verzetten tegen een snelheid of een hoeksnelheid. In dit geval gaat het om een verzet tegen hoeksnelheid, want massatraagheid gaat over een roterend voorwerp. Om voorwerpen aan te kunnen drijven moet er een motorkeuze worden gedaan om de last aan te kunnen drijven. Klik hier om meer te lezen over DC-motoren.

Massatraagheid (uitgeholde) cilinders

Het eerste ruimtelijke figuur dat wordt behandeld is de cilinder.
De standaard formule voor de massatraagheid van een massieve cilinder die om de eigen as draait is:
J=0.5*m*R²
Deze formule kan worden omgebouwd, waarbij de massa wordt opgebouwd uit dichtheid * volume
m = ρ*V.
Hierin kan V (volume) worden opgebouwd uit de lengte * oppervlakte van een cirkel:
V = π*L*R²
Invullen van volume in de massa en de massa in de massatraagheid geeft:
m = ρ*π*L*R²
J = 0.5*ρ*π*L*R²*R² ==> J = 0.5*ρ*π*L*R⁴

Hierbij is te zien dat de massatraagheid van een massieve cilinder bestaat uit de dichtheid, lengte en de straal van de cilinder tot de macht 4. De eerste macht 2 komt uit de oorspronkelijke formule en de tweede macht 2 uit het berekenen van de oppervlakte. (oorspronkelijke formule: oppervlakte = π*R²)

Op moment dat de massieve cilinder niet om dezelfde as roteert als waar de cilinder is uitgerekt. Dan zal er een andere formule moeten worden toegepast:
J = 1/4*m*R² + 1/12*m*L²
Hierbij is V = π*L*R² en dus: J = 1/4*ρ*π*L*R²*R² + 1/12*ρ*π*L*R²*L²
De formule kan worden vereenvoudigd tot: J = 1/4*ρ*π*L*R⁴ + 1/12*ρ*π*R²*L³

Tussen de massieve en holle cilinder zit een verschil. Bij een holle cilinder moet de uitholling in het midden in mindering worden gebracht van het totale volume.
De formule is: J=0.5*m*(R_buitenste²+R_binnen²)
Het volume in deze casus kan als volgt worden opgesteld: V = π*L*(R_buitenste²-R_binnen²)
Hierbij wordt de massatraagheid: J = 0.5*ρ*π*L*(R_buitenste²-R_binnen²)*(R_buitenste²+R_binnen²)

Massatraagheid balk

De tweede vorm van waarvan de massatraagheid kan worden berekend is de balk die om zijn hart-as draait. de formule van de balk is: J = 1/12*m*(b²+h²)
Hierbij zijn de breedte en hoogte van belang die de massa op een afstand brengen van de as waar de massa omheen roteert.
Hierbij kan het volume als volgt worden opgebouwd: V = h*b*l
Waardoor: J = 1/12*ρ*h*b*l*(b²+h²)

In tegenstelling tot de cilinder, is het bij een balk niet van belang hoe de rotatie as ligt. Dit komt omdat de breedte, hoogte en lengte onbepaald zijn. Bij een cilinder is het van belang om te weten om welke as de radius heen gaat.

Stelling van Steiner

Nu is behandeld wat massatraagheid is en hoe het kan worden berekend is er nog een belangrijke stelling waar rekening gehouden moet worden. Hierbij komt de stelling van Steiner om de hoek kijken, want in bovenstaande tekst is de massatraagheid van een los object behandeld. Op moment dat er een of meerdere objecten draaien om een referentie as draaien moet deze stelling worden gebruikt.
De stelling luidt: Jz’ = Jz + m*c²
hieronder in de afbeelding … staat uitgewerkt hoe de massatraagheid kan worden uitgewerkt, wanneer er een ruimte figuur om een ander object roteert.

In deze blog is een toelichting gegeven op het begrip massatraagheid en wat het betekend. Daarnaast is er behandeld hoe de formules kunnen toegepast met oog op de ligging van het object, waarbij formules verder zijn uitgelicht. Als laatste is de stelling van Steiner behandeld met een voorbeeld hoe dit toe te passen is.

In de volgende blog genaamd: Terug transleren naar de motor wordt uitgelegd hoe er gerekend kan worden met massatraagheid om een mechanisme te vereenvoudigen. Daarnaast wordt er ingezoomd op hoe bewegingsvergelijkingen kunnen worden opgesteld met koppels en massatraagheden.